刘徽发明牟合方盖，祖冲之儿子彻底解决遗留问题

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牟合方盖最初是由魏晋时期著名的数学家刘徽提出，他在为《九章算术》做批注的时候发现计算球体体积方法有误，继而发明了牟合方盖的方法。不过之后有在南北朝时期经过祖暅的发展下，形成了更加完善的计算球体体积公式的祖暅原理，比西方早一千年。

一、魏晋刘徽发明牟合方盖

在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出。为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑：用π=3来计算圆面积时，则较实际面积要少。若按π=4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。

然而可以互相通补，但按9：16的比率来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些。因此，刘徽创造了牟合方盖，一个独特的立体几何图形，当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分，希望用这个图形以求出球体体积公式，称之为“牟合方盖”。

其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是“牟合方盖”，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。

当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4：π，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，所以没有成功。

二、祖暅完善牟合方盖

无奈只好留待有能之士图谋解决的方法，而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现，便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅，他们承袭了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。

祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一来研究。等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

虽然本球体体积公式的出现比欧洲阿基米德的公式晚些，但由于方法以至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出，是一项杰出的成就。现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列利首先引用，称为卡瓦列利原理，但事实上祖氏父子比他早一千年就发现并使用了这个原理，故又称“祖暅原理”。

祖暅原理是关于球体体积的计算方法，他运用祖暅原理和由他创造的开立圆术，发展了他父亲的研究成果，巧妙地证得球的体积公式，这是祖暅一生最有代表性的发现。祖暅还有不少其他科学发现，例如肯定北极星并非真正在北天极，而要偏离一度多等等。算得这些结果，同他丰富的数学知识是分不开的。

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